Liczby zespolone zostały wprowadzone w celu upraszczania obliczeń – ma to swoje zastosowanie między innymi w metodzie symbolicznej, która jest omówiona w następnej „lekcji”.
Liczby zespolone – są to takie liczby, które składają się z liczby rzeczywistej i liczby urojonej. Kolokwialnie można powiedzieć, że liczba zespolona jest rozszerzoną liczbą rzeczywistą. W postaci algebraicznej przedstawia się za pomocą sumy liczby rzeczywistej i urojonej. Zatem możemy przedstawić takie liczby na wykresie:
j4 , j5 , j10 ). Na osi Re standardowo umieszcza się liczby rzeczywiste.
Liczby zespolone składające się z części rzeczywistej i urojonej zaznaczamy na płaszczyźnie, którą rozpinają osie: Im i Re (na przykład : 4+j , 3+j2 , 7+j8 ). Są to normalne liczby, na których możemy robić działania zgodnie z zasadami podobnymi do tych jakie wykonuje się na wyrażeniach algebraicznych.
mathbb{C} - oznaczenie zbioru liczb zespolonych
Działania i własności liczb zespolonych:
Najważniejszy fakt wynikający z definicji liczb zespolonych to: j^2 = -1 . Dzięki temu możemy liczyć pierwiastki z liczb ujemnych – co w zbiorze liczb rzeczywistych jest niewykonalne.
Sprzężenie: Załóżmy, że z = x + jy , gdzie Re(z)=x – część rzeczywista i Im(z)=y – część urojona, wówczas liczbą sprzężoną do z jest z* =x-jy. Sprzężenie jest bardzo istotne w obwodach prądu zmiennego do obliczania między innymi mocy czy dobierania optymalnej impedancji obciążenia, dla której dany dwójnik wydziela maksymalną moc.
Moduł: |z| = \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2}
z = |z|(cos\varphi + jsin\varphi), gdzie \varphi i |z| mają następujące interpretacje geometryczne:
Postać wykładnicza: Zasady podobne jak w postaci trygonometrycznej, różnica występuje tylko w zapisie: z = |z|e^{j\varphi}Często za pomocą postaci wykładniczej można szybciej dokonywać obliczeń.