Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybciej rozwijać nawiasy i rozkładać wyrażenia algebraiczne na czynniki. Najczęściej używa się ich przy kwadracie sumy, kwadracie różnicy, różnicy kwadratów oraz wzorach z sześcianami.
Te wzory działają nie tylko dla pojedynczych liter. Symbolami a i b mogą być liczby, zmienne albo całe wyrażenia, na przykład x, 3, 2x albo x+1.
Podstawowe wzory skróconego mnożenia
Najważniejsze trzy wzory to kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnica kwadratów:
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 (a-b)(a+b)=a^2-b^2Pierwsze dwa wzory służą głównie do rozwijania kwadratów nawiasów. Trzeci wzór jest bardzo wygodny przy rozkładaniu różnicy kwadratów na czynniki.
Kwadrat sumy i kwadrat różnicy
Kwadrat sumy daje trzy składniki: kwadrat pierwszego wyrażenia, podwojony iloczyn obu wyrażeń i kwadrat drugiego wyrażenia.
(x+3)^2=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2 (x+3)^2=x^2+6x+9Przy kwadracie różnicy zmienia się znak środkowego składnika:
(x-3)^2=x^2-2\cdot x\cdot3+3^2 (x-3)^2=x^2-6x+9Różnica kwadratów
Różnica kwadratów pozwala zamienić wyrażenie z odejmowaniem na iloczyn dwóch nawiasów:
a^2-b^2=(a-b)(a+b)Przykład:
x^2-16=x^2-4^2 x^2-16=(x-4)(x+4)Ten zapis jest przydatny przy upraszczaniu wyrażeń, rozwiązywaniu równań i rozkładaniu wielomianów na czynniki.
Wzory z sześcianami
Rozszerzony zestaw wzorów obejmuje także sześcian sumy, sześcian różnicy, sumę sześcianów i różnicę sześcianów:
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)Rozwijanie i rozkładanie wyrażeń
Ten sam wzór można czytać w dwie strony. Gdy usuwamy nawiasy, rozwijamy wyrażenie:
(2x+5)^2=4x^2+20x+25Gdy szukamy iloczynu nawiasów, rozkładamy wyrażenie na czynniki:
9x^2-25=(3x)^2-5^2 9x^2-25=(3x-5)(3x+5)W obliczeniach algebraicznych wzory skróconego mnożenia często pojawiają się razem z działaniami na potęgach, równaniami kwadratowymi i przekształcaniem wzorów.
Zadania ze wzorów skróconego mnożenia
Zadanie 1. Kwadrat sumy
Rozwiń wyrażenie (x+4)^2.
Dane
- (x+4)^2
- (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
Rozwiązanie
Podstawiamy a=x oraz b=4:
(x+4)^2=x^2+2\cdot x\cdot4+4^2 (x+4)^2=x^2+8x+16Odpowiedź
(x+4)^2=x^2+8x+16.
Zadanie 2. Kwadrat różnicy
Rozwiń wyrażenie (3x-2)^2.
Dane
- (3x-2)^2
- (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Rozwiązanie
Podstawiamy a=3x oraz b=2:
(3x-2)^2=(3x)^2-2\cdot3x\cdot2+2^2 (3x-2)^2=9x^2-12x+4Odpowiedź
(3x-2)^2=9x^2-12x+4.
Zadanie 3. Różnica kwadratów
Rozłóż na czynniki wyrażenie x^2-49.
Dane
- x^2-49
- a^2-b^2=(a-b)(a+b)
Rozwiązanie
Zapisujemy 49 jako kwadrat liczby 7:
x^2-49=x^2-7^2Stosujemy wzór na różnicę kwadratów:
x^2-7^2=(x-7)(x+7)Odpowiedź
x^2-49=(x-7)(x+7).