Pochodne wzory

Pochodna opisuje szybkość zmiany funkcji. Matematycznie mówi, jak zmienia się wartość funkcji względem argumentu, a technicznie pozwala opisywać zmiany w czasie: prąd, napięcie, ładunek, sygnały i stany przejściowe.

Jeżeli funkcja zmienia się szybko, jej pochodna ma dużą wartość. Jeżeli funkcja jest stała, jej pochodna wynosi zero.

Pochodna funkcji – zapis

Pochodną funkcji f(x) zapisuje się najczęściej tak:

f'(x)

albo w zapisie różniczkowym:

\frac{df}{dx}

Definicyjnie pochodna jest granicą ilorazu różnicowego:

f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Ten zapis pokazuje, że pochodna mierzy zmianę wartości funkcji przy bardzo małej zmianie argumentu.

Podstawowe wzory pochodnych

Najważniejsze wzory pochodnych funkcji prostych:

(c)'=0 (x)'=1 (x^n)'=nx^{n-1}

Przykłady:

(x^2)'=2x (x^5)'=5x^4

Reguła potęgowa łączy się bezpośrednio z działaniami na potęgach, dlatego przed różniczkowaniem często najpierw upraszcza się zapis funkcji.

Reguły różniczkowania

Stały mnożnik można wyłączyć przed pochodną:

(cf)'=c\cdot f'

Dla sumy i różnicy funkcji różniczkujemy każdy składnik osobno:

(f+g)'=f'+g' (f-g)'=f'-g'

Dla iloczynu funkcji:

(fg)'=f'g+fg'

Dla ilorazu funkcji:

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

Dla funkcji złożonej stosuje się regułę łańcuchową:

(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)

Pochodne funkcji elementarnych

Najczęściej używane pochodne funkcji elementarnych:

(\sin x)'=\cos x (\cos x)'=-\sin x (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x} (e^x)'=e^x (a^x)'=a^x\ln a (\ln x)'=\frac{1}{x}

Pochodne sinusa i cosinusa są szczególnie ważne przy przebiegach okresowych. Łączą się z trygonometrią, sinusoidami, fazą i analizą sygnałów.

Pochodne w elektronice i elektrotechnice

W elektronice pochodna najczęściej opisuje zmianę w czasie. Prąd elektryczny można zapisać jako zmianę ładunku względem czasu:

i(t)=\frac{dq(t)}{dt}

Jeżeli ładunek zmienia się szybciej, prąd jest większy. Zależność jednostek jest zgodna z układem SI:

\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{s}}=\mathrm{A}

Dla kondensatora prąd zależy od szybkości zmian napięcia:

i_C(t)=C\frac{du_C(t)}{dt}

Ten wzór mówi, że stałe napięcie na kondensatorze nie powoduje przepływu prądu przez idealny kondensator. Prąd pojawia się wtedy, gdy napięcie się zmienia. Temat łączy się z pojemnością kondensatora, ładowaniem i rozładowaniem układów RC.

Dla cewki napięcie zależy od szybkości zmian prądu:

u_L(t)=L\frac{di_L(t)}{dt}

Im szybciej zmienia się prąd w cewce, tym większe napięcie indukuje się na jej zaciskach. To bezpośrednio prowadzi do stanów przejściowych, indukcji elektromagnetycznej i pracy elementów indukcyjnych.

Pochodne i sygnały

Pochodne są używane przy opisie przebiegów sinusoidalnych, filtrów, układów RC, RL i RLC oraz modeli dynamicznych. W analizie sygnałów pozwalają opisać szybkość narastania, zbocza impulsów, zmiany fazy i zachowanie układu po skoku napięcia albo prądu.

W pracy z oscyloskopem pochodna pomaga rozumieć, dlaczego strome zbocze sygnału oznacza dużą szybkość zmian. W szerszym ujęciu ten sam język matematyczny pojawia się przy analizie Fouriera, filtrach i modelach układów liniowych.

Pochodna zmienia także jednostkę. Jeżeli funkcja opisuje napięcie w woltach, a argumentem jest czas w sekundach, to pochodna ma jednostkę \mathrm{V/s}. Taki zapis oznacza szybkość zmian napięcia.

Zadania z pochodnych

---

Źródła

• OpenStax, Calculus Volume 1 – Differentiation Rules
• OpenStax, Calculus Volume 1 – Table of Derivatives
• OpenStax, Calculus Volume 1 – Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions
• ZPE – Jak wyznaczyć pochodną funkcji?
• OpenStax, University Physics Volume 2 – Current and Resistance Summary
• LibreTexts – Capacitors and Calculus
• LibreTexts – Inductors and Calculus