Potęgi wzory

Potęgi skracają zapis wielokrotnego mnożenia i ułatwiają pracę z bardzo dużymi oraz bardzo małymi wartościami. W elektronice i pomiarach pojawiają się przy jednostkach SI, notacji naukowej, rezystancji, pojemności, częstotliwości, prądzie i napięciu.

Przykład techniczny: zamiast pisać 1000000\ \mathrm{Hz}, wygodniej zapisać 1\cdot10^6\ \mathrm{Hz}, czyli 1\ \mathrm{MHz}.

Potęga – zapis

Potęgę zapisuje się tak:

a^n

gdzie a jest podstawą potęgi, a n wykładnikiem. Dla dodatniego całkowitego wykładnika zapis oznacza mnożenie tej samej liczby przez siebie:

a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot...\cdot a}_{n\ \mathrm{razy}}

Wzory działań na potęgach

  • Mnożenie potęg o tej samej podstawie: a^m\cdot a^n=a^{m+n}
  • Dzielenie potęg o tej samej podstawie: \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, dla a\neq0
  • Potęga potęgi: (a^m)^n=a^{m\cdot n}
  • Potęga iloczynu: (ab)^n=a^n b^n
  • Potęga ilorazu: \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, dla b\neq0
  • Potęga o wykładniku zero: a^0=1, dla a\neq0
  • Potęga o wykładniku ujemnym: a^{-n}=\frac{1}{a^n}, dla a\neq0

Potęgi liczby 10 w technice

W elektronice najczęściej używa się potęg liczby 10, bo bez nich zapis jednostek byłby nieczytelny. Przykłady:

  • 1\ \mathrm{k\Omega}=10^3\ \mathrm{\Omega}=1000\ \mathrm{\Omega}
  • 1\ \mathrm{MHz}=10^6\ \mathrm{Hz}
  • 1\ \mathrm{mA}=10^{-3}\ \mathrm{A}
  • 1\ \mathrm{\mu F}=10^{-6}\ \mathrm{F}
  • 1\ \mathrm{nF}=10^{-9}\ \mathrm{F}
  • 1\ \mathrm{pF}=10^{-12}\ \mathrm{F}

Takie zapisy pojawiają się przy rezystancji, natężeniu prądu, napięciu, pojemności kondensatorów, częstotliwości sygnałów i pomiarach laboratoryjnych.

Notacja naukowa

Notacja naukowa zapisuje liczbę jako iloczyn liczby z zakresu od 1 do 10 oraz potęgi liczby 10:

x=a\cdot10^n

Przykłady:

  • 100000=1\cdot10^5
  • 0{,}000001=1\cdot10^{-6}
  • 4700=4{,}7\cdot10^3
  • 0{,}0000000024=2{,}4\cdot10^{-9}

Ten zapis jest wygodny przy bardzo małych prądach, bardzo dużych częstotliwościach, pojemnościach kondensatorów i danych pomiarowych. W analizie sygnałów podobne zapisy pojawiają się między innymi przy częstotliwości, widmie i analizie Fouriera.

Notacja inżynierska

Notacja inżynierska jest podobna do naukowej, ale wykładnik potęgi 10 jest wielokrotnością liczby 3. Dzięki temu zapis pasuje do przedrostków SI, takich jak kilo, mega, mili, mikro, nano i piko.

  • 4700\ \mathrm{\Omega}=4{,}7\cdot10^3\ \mathrm{\Omega}=4{,}7\ \mathrm{k\Omega}
  • 0{,}000001\ \mathrm{A}=1\cdot10^{-6}\ \mathrm{A}=1\ \mathrm{\mu A}
  • 2400000000\ \mathrm{Hz}=2{,}4\cdot10^9\ \mathrm{Hz}=2{,}4\ \mathrm{GHz}
  • 0{,}0000001\ \mathrm{F}=100\cdot10^{-9}\ \mathrm{F}=100\ \mathrm{nF}

W praktyce notacja inżynierska jest często czytelniejsza niż zwykła notacja naukowa, bo od razu prowadzi do jednostki używanej na schemacie, mierniku albo w dokumentacji elementu.

Potęgi w elektronice i pomiarach

Potęgi ułatwiają szybkie porównywanie skali wartości. Różnica między 1\ \mathrm{mA} i 1\ \mathrm{\mu A} to trzy rzędy wielkości, czyli czynnik 10^3. Różnica między 1\ \mathrm{kHz} i 1\ \mathrm{MHz} również wynosi 10^3.

Dlatego potęgi są potrzebne przy czytaniu danych katalogowych, pomiarach, przeliczaniu jednostek i ocenie wyników z przyrządów. Bez nich trudno wygodnie pracować z wartościami takimi jak mikroampery, nanofarady, megaomy albo gigaherce.

W pomiarach technicznych warto też pilnować jednostek. Ten sam wynik może wyglądać inaczej w zależności od zapisu: 0{,}001\ \mathrm{A}, 1\cdot10^{-3}\ \mathrm{A} i 1\ \mathrm{mA} oznaczają tę samą wartość.

Zadania z potęg

Zadanie 1. Uproszczenie wyrażenia z potęgami

Uprość wyrażenie: a^3\cdot a^4.

Dane

  • a^3\cdot a^4

Rozwiązanie

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:

a^m\cdot a^n=a^{m+n}
a^3\cdot a^4=a^{3+4}=a^7

Odpowiedź

Wynik to a^7.

Zadanie 2. Przeliczenie pojemności kondensatora

Zapisz 100\ \mathrm{nF} w faradach z użyciem potęgi liczby 10.

Dane

  • 1\ \mathrm{nF}=10^{-9}\ \mathrm{F}
  • 100\ \mathrm{nF}

Rozwiązanie

Podstawiamy mnożnik dla nano:

100\ \mathrm{nF}=100\cdot10^{-9}\ \mathrm{F}

Można przesunąć zapis do notacji naukowej:

100\cdot10^{-9}=1\cdot10^2\cdot10^{-9}=1\cdot10^{-7}
100\ \mathrm{nF}=1\cdot10^{-7}\ \mathrm{F}

Odpowiedź

100\ \mathrm{nF} to 1\cdot10^{-7}\ \mathrm{F}.

Zadanie 3. Zapis częstotliwości w notacji inżynierskiej

Zapisz częstotliwość 2400000000\ \mathrm{Hz} w notacji inżynierskiej i z przedrostkiem SI.

Dane

  • f=2400000000\ \mathrm{Hz}
  • 10^9=\mathrm{G}

Rozwiązanie

Najpierw zapisujemy liczbę jako potęgę liczby 10:

2400000000=2{,}4\cdot10^9

Wykładnik 9 jest wielokrotnością liczby 3, więc zapis pasuje do notacji inżynierskiej:

2400000000\ \mathrm{Hz}=2{,}4\cdot10^9\ \mathrm{Hz}

Przedrostek \mathrm{G} oznacza 10^9, czyli giga:

2{,}4\cdot10^9\ \mathrm{Hz}=2{,}4\ \mathrm{GHz}

Odpowiedź

2400000000\ \mathrm{Hz} to 2{,}4\cdot10^9\ \mathrm{Hz}, czyli 2{,}4\ \mathrm{GHz}.

Źródła