Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzać funkcje trygonometryczne kątów takich jak 90^\circ\pm\alpha, 180^\circ\pm\alpha, 270^\circ\pm\alpha i 360^\circ\pm\alpha do funkcji kąta \alpha. Są szczególnie przydatne przy sinusoidach, fazie i obwodach prądu przemiennego.

Najprostsza zasada jest taka: przy 90^\circ\pm\alpha i 270^\circ\pm\alpha funkcja zmienia się na kofunkcję, czyli \sin przechodzi w \cos, a \tan w \cot. Przy 180^\circ\pm\alpha i 360^\circ\pm\alpha funkcja zostaje ta sama, a zmienia się tylko znak zgodnie z ćwiartką.

Wzory redukcyjne dla 90° ± α

\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha \cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha \sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha \cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha \tan(90^\circ-\alpha)=\cot\alpha \tan(90^\circ+\alpha)=-\cot\alpha

Wzory redukcyjne dla 180° ± α

\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha \sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha \cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha \tan(180^\circ-\alpha)=-\tan\alpha \tan(180^\circ+\alpha)=\tan\alpha

Wzory redukcyjne dla 270° ± α

\sin(270^\circ-\alpha)=-\cos\alpha \sin(270^\circ+\alpha)=-\cos\alpha \cos(270^\circ-\alpha)=-\sin\alpha \cos(270^\circ+\alpha)=\sin\alpha \tan(270^\circ-\alpha)=\cot\alpha \tan(270^\circ+\alpha)=-\cot\alpha

Wzory redukcyjne dla 360° ± α

\sin(360^\circ-\alpha)=-\sin\alpha \sin(360^\circ+\alpha)=\sin\alpha \cos(360^\circ-\alpha)=\cos\alpha \cos(360^\circ+\alpha)=\cos\alpha \tan(360^\circ-\alpha)=-\tan\alpha \tan(360^\circ+\alpha)=\tan\alpha

Stopnie i radiany

W elektrotechnice kąty często zapisuje się w radianach, szczególnie przy przebiegach sinusoidalnych. Podstawowe odpowiedniki są następujące:

90^\circ=\frac{\pi}{2} 180^\circ=\pi 270^\circ=\frac{3\pi}{2} 360^\circ=2\pi

Dzięki temu wzory redukcyjne można zapisywać także w postaci z \pi, np. \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x.

Wzory redukcyjne w elektrotechnice

W obwodach prądu przemiennego napięcia i prądy opisuje się sinusoidami. Przesunięcie fazowe o 90^\circ, czyli \frac{\pi}{2}, pojawia się między innymi przy idealnym kondensatorze i idealnej cewce.

Przykład redukcji kąta dla sinusoidy:

\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(\omega t)

oraz:

\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos(\omega t)

Taki zapis pomaga porządkować przesunięcia fazowe w obwodach sinusoidalnych, analizie fazorowej i przy interpretacji przebiegów napięcia oraz prądu.

Wzory redukcyjne łączą się też ze wzorami trygonometrycznymi, współczynnikiem mocy i analizą Fouriera, gdzie przesunięcia fazowe i znaki funkcji trygonometrycznych mają bezpośrednie znaczenie.

Zadania ze wzorów redukcyjnych

Zadanie 1. Obliczenie sinusa kąta 150°

Oblicz \sin150^\circ, korzystając ze wzorów redukcyjnych.

Dane

  • 150^\circ=180^\circ-30^\circ
  • \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha

Rozwiązanie

Podstawiamy \alpha=30^\circ:

\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)
\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ
\sin30^\circ=\frac{1}{2}

Odpowiedź

\sin150^\circ=\frac{1}{2}.

Zadanie 2. Obliczenie cosinusa kąta 210°

Oblicz \cos210^\circ, korzystając ze wzorów redukcyjnych.

Dane

  • 210^\circ=180^\circ+30^\circ
  • \cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha

Rozwiązanie

Podstawiamy \alpha=30^\circ:

\cos210^\circ=\cos(180^\circ+30^\circ)
\cos(180^\circ+30^\circ)=-\cos30^\circ
\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
\cos210^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Odpowiedź

\cos210^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Zadanie 3. Redukcja przesunięcia fazowego

Przekształć wyrażenie \sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right) do postaci z cosinusem.

Dane

  • \frac{\pi}{2}=90^\circ
  • \sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha

Rozwiązanie

Wyrażenie \omega t+\frac{\pi}{2} odpowiada przesunięciu o 90^\circ:

\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(\omega t)

Odpowiedź

\sin\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(\omega t).

Źródła