Wzory trygonometryczne

Wzory trygonometryczne są potrzebne nie tylko w geometrii. W elektrotechnice opisują sinusoidy, przesunięcie fazowe, współczynnik mocy, przebiegi AC, rezonans i analizę sygnałów.

Najprostszy przykład to napięcie przemienne zapisane jako sinusoida:

u(t)=U_m\sin(\omega t)

Jeżeli prąd jest przesunięty względem napięcia, zapis wygląda tak:

i(t)=I_m\sin(\omega t-\varphi)

Kąt \varphi jest kątem fazowym. W praktyce wpływa między innymi na moc czynną i współczynnik mocy.

Podstawowe wzory trygonometryczne

Najważniejsza zależność to jedynka trygonometryczna:

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Z niej można wyznaczać sinus albo cosinus kąta, jeżeli znana jest druga funkcja. W obliczeniach wektorowych i fazorowych ta zależność pojawia się bardzo często.

Tangens i cotangens można zapisać przez sinus i cosinus:

\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}

Wzory na sumę i różnicę kątów

Te wzory są przydatne przy przesunięciu fazowym, analizie sinusoid i przekształcaniu sygnałów:

\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

Wzory podwójnego kąta

Wzory podwójnego kąta pojawiają się między innymi przy przekształcaniu iloczynów sinusów i cosinusów, mocy chwilowej oraz składowych o podwójnej częstotliwości:

\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha \cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1 \cos(2\alpha)=1-2\sin^2\alpha

Wzory iloczynowe

W elektrotechnice i analizie sygnałów ważne są też wzory zamieniające iloczyny funkcji trygonometrycznych na sumy:

\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right] \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right] \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\right]

W praktyce takie przekształcenia pomagają zrozumieć, skąd w sygnałach biorą się składowe sumy, różnicy albo podwójnej częstotliwości. To jest ważne między innymi przy analizie Fouriera, modulacji i badaniu harmonicznych.

Kąt fazowy i współczynnik mocy

W obwodach prądu przemiennego napięcie i prąd mogą być przesunięte w fazie. Dla mocy czynnej bardzo ważny jest cosinus kąta fazowego:

P=UI\cos\varphi

Wyrażenie \cos\varphi to współczynnik mocy. Jeżeli \varphi=0, napięcie i prąd są w fazie, a \cos\varphi=1. Przy większym przesunięciu fazowym moc czynna maleje względem iloczynu napięcia i prądu.

Ten temat łączy się bezpośrednio z obwodami sinusoidalnymi, poprawą współczynnika mocy, pomiarami mocy oraz układami trójfazowymi.

Radiany w obliczeniach technicznych

W elektrotechnice kąt często zapisuje się w radianach, bo sinusoida jest funkcją argumentu \omega t. Jeden pełny okres odpowiada kątowi:

2\pi\ \mathrm{rad}=360^\circ

Dlatego w zapisach technicznych często pojawia się prędkość kątowa:

\omega=2\pi f

gdzie f oznacza częstotliwość. Taki zapis jest naturalny przy przebiegach sinusoidalnych, rezonansie, falownikach i obwodach prądu sinusoidalnego.

Zadania z trygonometrii w elektrotechnice

Zadanie 1. Obliczenie cosinusa z jedynki trygonometrycznej

Dla kąta ostrego wiadomo, że \sin\alpha=0{,}6. Oblicz \cos\alpha.

Dane

  • \sin\alpha=0{,}6
  • \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Rozwiązanie

Podstawiamy wartość sinusa:

0{,}6^2+\cos^2\alpha=1
0{,}36+\cos^2\alpha=1
\cos^2\alpha=0{,}64

Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni:

\cos\alpha=0{,}8

Odpowiedź

\cos\alpha=0{,}8.

Zadanie 2. Współczynnik mocy z kąta fazowego

W obwodzie AC kąt przesunięcia fazowego wynosi \varphi=60^\circ. Oblicz współczynnik mocy.

Dane

  • \varphi=60^\circ
  • współczynnik mocy: \cos\varphi

Rozwiązanie

Współczynnik mocy jest równy cosinusowi kąta fazowego:

\cos\varphi=\cos60^\circ
\cos60^\circ=0{,}5

Odpowiedź

Współczynnik mocy wynosi 0{,}5.

Zadanie 3. Wartość chwilowa napięcia sinusoidalnego

Napięcie opisano wzorem u(t)=325\sin(100\pi t). Oblicz wartość chwilową napięcia dla t=0{,}005\ \mathrm{s}.

Dane

  • u(t)=325\sin(100\pi t)
  • t=0{,}005\ \mathrm{s}

Rozwiązanie

Podstawiamy czas do argumentu funkcji sinus:

100\pi t=100\pi\cdot0{,}005=0{,}5\pi
0{,}5\pi=\frac{\pi}{2}

Dla tego kąta:

\sin\frac{\pi}{2}=1

Obliczamy napięcie:

u=325\cdot1=325\ \mathrm{V}

Odpowiedź

Wartość chwilowa napięcia dla t=0{,}005\ \mathrm{s} wynosi 325\ \mathrm{V}.

Źródła