Wzory Viete’a

Wzory Viete’a łączą współczynniki równania kwadratowego z sumą i iloczynem jego pierwiastków. Pozwalają szybko sprawdzić rozwiązania, wyznaczyć drugi pierwiastek albo rozłożyć trójmian kwadratowy na czynniki.

Najczęściej stosuje się je dla równania kwadratowego w postaci ogólnej:

ax^2+bx+c=0,\quad a\neq0

Jeżeli pierwiastkami tego równania są x_1 oraz x_2, to wzory Viete’a mają postać:

x_1+x_2=-\frac{b}{a} x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}

Oznaczenia we wzorach Viete’a

  • a, b, c – współczynniki równania kwadratowego,
  • x1, x2 – pierwiastki równania,
  • x1 + x2 – suma pierwiastków,
  • x1 · x2 – iloczyn pierwiastków.

Wzory Viete’a nie zawsze są najkrótszą drogą do obliczenia samych pierwiastków. Bardzo dobrze nadają się jednak do kontroli wyniku i do zadań, w których ważna jest suma albo iloczyn rozwiązań.

Wariant dla równania z a = 1

Dla równania w prostszej postaci:

x^2+px+q=0

wzory Viete’a upraszczają się do postaci:

x_1+x_2=-p x_1x_2=q

Przykład:

x^2-5x+6=0

W tym równaniu p=-5 i q=6, więc:

x_1+x_2=5 x_1x_2=6

Taką sumę i iloczyn spełniają liczby 2 oraz 3.

Wzory Viete’a a postać iloczynowa

Jeżeli znamy pierwiastki równania kwadratowego, trójmian można zapisać w postaci iloczynowej:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Dla równania x^2-5x+6=0 pierwiastki to 2 i 3, więc:

x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

Ten sam mechanizm działa w drugą stronę: z postaci iloczynowej można szybko odczytać pierwiastki, a potem sprawdzić ich sumę i iloczyn ze wzorami Viete’a.

Kiedy wzory Viete’a są przydatne?

Wzory Viete’a są wygodne, gdy trzeba sprawdzić pierwiastki równania, znaleźć drugi pierwiastek przy znanym pierwszym, rozłożyć trójmian na czynniki albo rozwiązać zadanie z parametrem. Często występują razem z równaniami kwadratowymi, deltą oraz przekształceniami algebraicznymi.

Przy prostych współczynnikach pierwiastki można czasem odgadnąć z sumy i iloczynu. Przy trudniejszych liczbach wygodniejsze bywa najpierw policzenie delty i pierwiastków ze wzoru kwadratowego, a wzory Viete’a wykorzystać do kontroli wyniku.

W przekształceniach algebraicznych ten temat łączy się też z wzorami skróconego mnożenia oraz działaniami na potęgach.

Zadania ze wzorów Viete’a

Zadanie 1. Suma i iloczyn pierwiastków

Dane jest równanie 2x^2-6x+4=0. Oblicz sumę i iloczyn jego pierwiastków bez wyznaczania x_1 i x_2.

Dane

  • a=2
  • b=-6
  • c=4

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na sumę pierwiastków:

x_1+x_2=-\frac{b}{a}
x_1+x_2=-\frac{-6}{2}=3

Korzystamy ze wzoru na iloczyn pierwiastków:

x_1x_2=\frac{c}{a}
x_1x_2=\frac{4}{2}=2

Odpowiedź

Suma pierwiastków wynosi 3, a iloczyn pierwiastków wynosi 2.

Zadanie 2. Wyznaczenie drugiego pierwiastka

Równanie x^2-7x+10=0 ma jeden pierwiastek x_1=2. Oblicz drugi pierwiastek za pomocą wzorów Viete’a.

Dane

  • x^2-7x+10=0
  • x_1=2
  • a=1,\quad b=-7,\quad c=10

Rozwiązanie

Najpierw liczymy sumę pierwiastków:

x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7

Podstawiamy znany pierwiastek:

2+x_2=7
x_2=5

Można to sprawdzić przez iloczyn:

x_1x_2=2\cdot5=10

Odpowiedź

Drugi pierwiastek równania wynosi x_2=5.

Zadanie 3. Rozkład trójmianu na czynniki

Rozłóż na czynniki trójmian x^2-8x+15, korzystając z sumy i iloczynu pierwiastków.

Dane

  • x^2-8x+15
  • x_1+x_2=8
  • x_1x_2=15

Rozwiązanie

Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi 8, a iloczyn 15. Takimi liczbami są 3 i 5:

3+5=8
3\cdot5=15

Trójmian zapisujemy w postaci iloczynowej:

x^2-8x+15=(x-3)(x-5)

Odpowiedź

x^2-8x+15=(x-3)(x-5).

Źródła