Natężenie pola elektrycznego w punkcie i potencjał elektryczny opisują to samo pole, ale robią to w inny sposób. Natężenie pola mówi, jaka siła działałaby na dodatni ładunek próbny umieszczony w danym punkcie. Potencjał mówi, jaka energia potencjalna przypada tam na jednostkę ładunku.
Najważniejsza różnica jest prosta: natężenie pola elektrycznego jest wektorem, więc ma wartość, kierunek i zwrot. Potencjał elektryczny jest skalarem, więc ma tylko wartość liczbową. Dlatego pole elektryczne służy do opisu siły, a potencjał do opisu energii i różnic napięcia między punktami.
Natężenie pola elektrycznego w punkcie – co oznacza?
Natężenie pola elektrycznego w punkcie określa siłę przypadającą na jednostkowy dodatni ładunek próbny umieszczony w tym punkcie. Definicję zapisuje się tak:
\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}gdzie \vec{E} oznacza natężenie pola elektrycznego, \vec{F} siłę elektryczną, a q dodatni ładunek próbny.
Ładunek próbny nie jest źródłem badanego pola. Służy tylko do sprawdzenia, jaka siła działałaby w danym punkcie. Samo pole wynika z układu ładunków źródłowych. Jeżeli ładunek próbny byłby dwa razy większy, siła też byłaby dwa razy większa, ale stosunek \vec{F}/q pozostałby taki sam, o ile ładunek próbny nie zaburza badanego układu.
Jednostką natężenia pola elektrycznego jest niuton na kulomb:
\frac{N}{C}Równoważnie można używać jednostki wolt na metr:
\frac{V}{m}Kierunek pola elektrycznego przyjmuje się zgodnie z kierunkiem siły działającej na dodatni ładunek próbny. Dla ładunku ujemnego siła działałaby przeciwnie do kierunku wektora pola.
Pole elektryczne ładunku punktowego
Dla pojedynczego ładunku punktowego wartość natężenia pola maleje z kwadratem odległości. W odległości r od ładunku Q można zapisać:
E=k\frac{|Q|}{r^2}Stała k to stała elektrostatyczna. W próżni jej wartość wynosi w przybliżeniu:
k\approx 8{,}99\cdot10^9\ \frac{N\cdot m^2}{C^2}Dla ładunku dodatniego wektory pola są skierowane na zewnątrz, a dla ładunku ujemnego do środka. Ten sam model wynika z prawa Coulomba, które opisuje siłę oddziaływania między ładunkami.
Jeżeli pole pochodzi od kilku ładunków, całkowite natężenie pola w punkcie oblicza się jako sumę wektorową. Trzeba więc uwzględnić nie tylko wartości poszczególnych pól, ale również ich kierunki i zwroty.
Potencjał elektryczny – energia na jednostkę ładunku
Potencjał elektryczny w punkcie opisuje energię potencjalną przypadającą na jednostkę ładunku. Można zapisać go tak:
V=\frac{U_e}{q}gdzie V oznacza potencjał elektryczny, U_e energię potencjalną elektryczną, a q ładunek.
Jednostką potencjału elektrycznego jest wolt:
1\ V=1\frac{J}{C}Dla ładunku punktowego potencjał w odległości r wynosi:
V=k\frac{Q}{r}W tym wzorze znak ładunku ma znaczenie. Ładunek dodatni wytwarza potencjał dodatni względem przyjętego punktu odniesienia, a ładunek ujemny potencjał ujemny. Najczęściej w zadaniach elektrostatycznych przyjmuje się, że potencjał w nieskończoności jest równy zero, ale sam wybór poziomu odniesienia zależy od sytuacji.
Natężenie pola jest wektorem, potencjał jest skalarem
Różnica między natężeniem pola a potencjałem nie sprowadza się do innej jednostki. To dwie różne formy opisu pola elektrycznego. Jedna mówi o sile i kierunku działania, druga o energii przypadającej na jednostkę ładunku.
| Cecha | Natężenie pola elektrycznego \vec{E} | Potencjał elektryczny V |
|---|---|---|
| Rodzaj wielkości | wektor | skalar |
| Jednostka | N/C albo V/m | V |
| Co opisuje? | siłę na jednostkowy dodatni ładunek próbny | energię potencjalną na jednostkę ładunku |
| Czy ma kierunek? | tak | nie |
| Jak sumuje się wkłady od wielu ładunków? | wektorowo | algebraicznie |
| Typowe zastosowanie | obliczanie siły działającej na ładunek | obliczanie energii, pracy i napięcia |
Właśnie dlatego potencjał bywa wygodniejszy obliczeniowo. Przy wielu ładunkach potencjały dodaje się jak liczby, z uwzględnieniem znaków. Pola trzeba dodawać jako wektory, więc ich kierunki mogą się wzmacniać, osłabiać albo znosić.
Związek potencjału z natężeniem pola
Natężenie pola i potencjał nie są niezależnymi wielkościami. Pole elektryczne opisuje, jak szybko potencjał zmienia się w przestrzeni i w którą stronę następuje jego największy spadek.
W prostym przypadku jednowymiarowym można zapisać przybliżenie:
E\approx-\frac{\Delta V}{\Delta s}Ogólnie zależność między polem a potencjałem zapisuje się tak:
\vec{E}=-\nabla VNajłatwiej wyobrazić to sobie jak mapę wysokości. Potencjał elektryczny pełni rolę wysokości energetycznej, a natężenie pola wskazuje kierunek najszybszego spadku tej wysokości. Znak minus oznacza, że pole nie wskazuje w stronę wzrostu potencjału, tylko w stronę jego spadku.
Im szybciej potencjał zmienia się na małej odległości, tym większe jest natężenie pola. Jeśli potencjał zmienia się łagodnie, pole jest słabsze. Jeśli w pewnym obszarze potencjał jest stały, pole w tym obszarze jest zerowe.
Powierzchnie ekwipotencjalne i linie pola
Powierzchnia ekwipotencjalna to zbiór punktów o tym samym potencjale. W analogii topograficznej przypomina poziomicę na mapie. Poruszając się po poziomicy, nie zmieniasz wysokości. Poruszając ładunek po powierzchni ekwipotencjalnej, nie zmieniasz jego energii potencjalnej.
Linie pola elektrycznego są prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych. Gdyby miały składową styczną do takiej powierzchni, pole wykonywałoby pracę przy przesuwaniu ładunku po linii stałego potencjału. To byłoby sprzeczne z definicją powierzchni ekwipotencjalnej.
Wokół pojedynczego ładunku punktowego powierzchnie ekwipotencjalne mają kształt sfer współśrodkowych, a linie pola są promieniowe. Dla ładunku dodatniego wychodzą na zewnątrz, dla ujemnego są skierowane do środka.
Napięcie to różnica potencjałów
Potencjał elektryczny dotyczy jednego punktu względem przyjętego poziomu odniesienia. Napięcie opisuje różnicę potencjałów między dwoma punktami.
Dla punktów A i B można zapisać:
U_{AB}=V_A-V_BW praktycznych obwodach najczęściej mierzy się właśnie napięcie elektryczne, czyli różnicę potencjałów. Źródło napięcia utrzymuje różnicę potencjałów między zaciskami, a prąd może płynąć dopiero wtedy, gdy istnieje zamknięta droga dla ładunku.
Sam potencjał w punkcie można przesunąć o stałą przez zmianę punktu odniesienia. Różnica potencjałów między dwoma punktami pozostaje jednak fizycznie istotna, bo określa pracę potrzebną do przeniesienia ładunku między tymi punktami.
Przykład z dwoma ładunkami: dlaczego potencjał bywa łatwiejszy?
Wyobraźmy sobie dwa ładunki punktowe: dodatni +Q i ujemny -Q. W wybranym punkcie przestrzeni potencjał od ładunku dodatniego może być dodatni, a potencjał od ładunku ujemnego ujemny. Ponieważ potencjał jest skalarem, całkowity potencjał otrzymujemy przez zwykłe dodanie tych wartości.
Natężenie pola liczy się inaczej. Każdy ładunek wytwarza wektor pola o określonym kierunku i zwrocie. Całkowite pole jest sumą wektorową tych wkładów, więc wynik zależy od geometrii układu.
Może się zdarzyć, że potencjał w danym punkcie jest równy zero, ale pole elektryczne nie jest zerowe. Wkłady skalarne do potencjału znoszą się wtedy liczbowo, ale wektory pola nie muszą się znosić.
Możliwa jest też sytuacja odwrotna. W przewodniku w stanie równowagi elektrostatycznej pole wewnątrz jest zerowe, ale cały przewodnik może mieć stały, niezerowy potencjał względem ziemi albo innego punktu odniesienia. Dla pola ważna jest nie sama wartość potencjału, tylko jego zmiana w przestrzeni.
Kiedy używać pola, a kiedy potencjału?
Jeżeli chcesz obliczyć siłę działającą na ładunek w danym punkcie, potrzebujesz natężenia pola elektrycznego:
\vec{F}=q\vec{E}Jeżeli analizujesz energię, pracę albo napięcie między punktami, zwykle wygodniejszy jest potencjał. Potencjał jest skalarem, więc w wielu układach łatwiej go policzyć, a dopiero potem wyznaczyć z niego pole.
W układach o dużej symetrii pole można czasem znaleźć bezpośrednio z rozkładu ładunku. Właśnie dlatego prawo Gaussa jest tak użyteczne przy kulach, płaszczyznach i przewodnikach o prostych symetriach. W mniej symetrycznych sytuacjach potencjał często daje prostszą drogę do rozwiązania.
Typowe pomyłki przy polu i potencjale
Pierwsza częsta pomyłka dotyczy kierunku pola. Pole elektryczne nie wskazuje kierunku wzrostu potencjału, tylko kierunek jego spadku. Właśnie dlatego we wzorze \vec{E}=-\nabla V pojawia się znak minus.
Druga pomyłka to mylenie potencjału i napięcia. Potencjał dotyczy punktu względem wybranego odniesienia. Napięcie jest różnicą potencjałów między dwoma punktami. W obwodach i pomiarach praktycznych zwykle interesuje nas właśnie ta różnica, a nie bezwzględna wartość potencjału jednego punktu.
Najważniejsze wzory
| Wielkość lub zależność | Wzór | Znaczenie |
|---|---|---|
| Definicja natężenia pola | \vec{E}=\frac{\vec{F}}{q} | siła na jednostkowy dodatni ładunek próbny |
| Pole od ładunku punktowego | E=k\frac{|Q|}{r^2} | wartość pola w odległości r od ładunku Q |
| Definicja potencjału | V=\frac{U_e}{q} | energia potencjalna na jednostkę ładunku |
| Potencjał ładunku punktowego | V=k\frac{Q}{r} | potencjał w odległości r od ładunku Q |
| Napięcie między punktami | U_{AB}=V_A-V_B | różnica potencjałów między punktami A i B |
| Pole jako spadek potencjału | E\approx-\frac{\Delta V}{\Delta s} | przybliżony związek w jednym kierunku |
| Ogólny związek pola z potencjałem | \vec{E}=-\nabla V | pole jest skierowane w stronę najszybszego spadku potencjału |
| Siła działająca na ładunek | \vec{F}=q\vec{E} | związek pola z siłą elektryczną |