Prawo Coulomba: wzór, definicja i wyjaśnienie

Prawo Coulomba opisuje siłę elektrostatyczną między dwoma ładunkami elektrycznymi. Dzięki niemu można obliczyć, jak mocno dwa naładowane ciała przyciągają się albo odpychają.

Jeżeli ładunki mają ten sam znak, odpychają się. Jeżeli mają znaki przeciwne, przyciągają się. Wartość siły zależy od wielkości ładunków, odległości między nimi oraz od ośrodka, w którym te ładunki się znajdują.

W zadaniach z prawa Coulomba trzeba pilnować dwóch rzeczy naraz: rachunku i sensu fizycznego. Wzór daje wartość siły, ale kierunek oddziaływania wynika ze znaków ładunków oraz z położenia ciał względem siebie.

Czym jest prawo Coulomba?

Prawo Coulomba mówi, że wartość siły elektrostatycznej między dwoma ładunkami punktowymi jest wprost proporcjonalna do iloczynu wartości tych ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.

Ładunek punktowy to model fizyczny. Oznacza ciało, którego rozmiary można pominąć w porównaniu z odległością od drugiego ciała. W zadaniach szkolnych często są to małe naładowane kulki, cząstki albo obiekty, którym przypisuje się konkretny ładunek elektryczny.

Siła Coulomba działa wzdłuż prostej łączącej oba ładunki. Dwa ładunki dodatnie albo dwa ładunki ujemne odpychają się. Ładunek dodatni i ujemny przyciągają się.

Masa ciał nie występuje we wzorze prawa Coulomba. O sile elektrostatycznej decydują ładunki, odległość i właściwości ośrodka. Prawo dotyczy elektrostatyki, czyli sytuacji, w której analizuje się ładunki pozostające w spoczynku albo traktowane w przybliżeniu jako nieruchome.

Jeżeli ładunek nie jest skupiony w punkcie, lecz rozłożony na pręcie, powierzchni albo w objętości, prosty wzór na dwa ładunki punktowe nie wystarcza do pełnego rozwiązania. Wtedy siłę oblicza się przez sumowanie wkładów od małych fragmentów ładunku albo przez całkowanie.

Wzór prawa Coulomba, stała k i jednostki

Wartość siły elektrostatycznej między dwoma ładunkami punktowymi oblicza się ze wzoru:

F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

We wzorze F oznacza wartość siły elektrostatycznej w niutonach, q_1 i q_2 oznaczają ładunki elektryczne w kulombach, r oznacza odległość między ładunkami w metrach, a k jest stałą Coulomba.

Znak wartości bezwzględnej w wyrażeniu |q_1 q_2| oznacza, że wzór liczy dodatnią wartość siły. Informację o tym, czy siła jest przyciągająca, czy odpychająca, ustala się osobno na podstawie znaków ładunków.

W próżni stała Coulomba jest związana z przenikalnością elektryczną próżni:

k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}

Symbol \varepsilon_0 oznacza przenikalność elektryczną próżni. Jej wartość wynosi:

\varepsilon_0 = 8{,}8541878188 \cdot 10^{-12} \frac{F}{m}

W typowych obliczeniach korzysta się bezpośrednio z wartości stałej Coulomba:

k \approx 8{,}99 \cdot 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2}

Często stosuje się też zaokrąglenie:

k = 9 \cdot 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2}

Wzór wymaga jednostek układu SI. Ładunki podstawia się w kulombach, odległość w metrach, a wynik otrzymuje się w niutonach. Przed obliczeniami trzeba więc zamienić mniejsze jednostki ładunku i długości.

1\ \mu C = 10^{-6}\ C 1\ nC = 10^{-9}\ C 1\ mC = 10^{-3}\ C 1\ cm = 10^{-2}\ m

Przykładowo 30 cm to 0{,}30\ m. Podstawienie do wzoru wartości 30 zamiast 0{,}30 daje błędny wynik, ponieważ odległość znajduje się w mianowniku w drugiej potędze.

Przy obliczeniach z fizyki można korzystać z działu kalkulatorów fizycznych, ale najpierw trzeba poprawnie przygotować dane: ładunki w kulombach, odległość w metrach i stałą w zgodnych jednostkach.

Od czego zależy wartość i kierunek siły elektrostatycznej?

Wartość siły Coulomba zależy od iloczynu ładunków. Jeżeli jeden z ładunków zwiększy się dwa razy, siła także zwiększy się dwa razy. Jeżeli oba ładunki zwiększą się dwukrotnie, siła wzrośnie czterokrotnie, ponieważ zmienia się cały iloczyn |q_1 q_2|.

Wpływ odległości opisuje zależność odwrotna od kwadratu:

F \sim \frac{1}{r^2}

Podwojenie dystansu osłabia siłę cztery razy, a jego potrojenie aż dziewięć razy. Zbliżenie ładunków działa odwrotnie: dwukrotnie mniejsza odległość oznacza czterokrotnie mocniejsze oddziaływanie. Pominięcie kwadratu przy r^2 to błąd, który całkowicie niszczy sens fizyczny obliczenia.

Kierunek siły zależy od znaków ładunków. Ładunki jednoimienne odpychają się, a różnoimienne przyciągają. Siła działa na oba ładunki jednocześnie: ma taką samą wartość, tę samą prostą działania i przeciwne zwroty.

W zadaniu obliczeniowym najpierw wyznacza się wartość siły ze wzoru skalarnego, a później określa jej zwrot na rysunku albo na osi. Znak siły na osi należy przypisać zgodnie z jej realnym zwrotem, na przykład w prawo lub w lewo, a nie automatycznie kopiować znaki ładunków z treści zadania.

Prawo Coulomba w ośrodku

W próżni i w powietrzu najczęściej używa się wzoru ze stałą k. Jeżeli ładunki znajdują się w innym ośrodku, trzeba uwzględnić względną przenikalność elektryczną tego ośrodka.

Wtedy prawo Coulomba można zapisać tak:

F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r} \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

Symbol \varepsilon_r oznacza względną przenikalność elektryczną ośrodka. W próżni \varepsilon_r = 1. W powietrzu ta wartość jest bardzo bliska jedności, dlatego powietrze często traktuje się w obliczeniach prawie tak samo jak próżnię.

Wpływ ośrodka można zapisać przez skuteczną stałą Coulomba:

k_m = \frac{k}{\varepsilon_r}

Większa przenikalność elektryczna oznacza mniejszą siłę między tymi samymi ładunkami przy tej samej odległości. Jeżeli \varepsilon_r = 4, siła jest cztery razy mniejsza niż w próżni. Dla wody, której względna przenikalność w typowych warunkach jest znacznie większa niż dla powietrza, oddziaływanie elektrostatyczne między ładunkami jest wyraźnie osłabione.

Dla celów obliczeniowych kluczowe jest zapamiętanie jednej zasady: większa przenikalność elektryczna ośrodka zawsze osłabia oddziaływanie między ładunkami.

Wektorowy opis siły i dalsze pojęcia

Kiedy potrzebna jest postać wektorowa?

Zapis skalarny pozwala szybko wyznaczyć samą wartość siły. Pełna notacja wektorowa staje się niezbędna wtedy, gdy siły trzeba rozłożyć na osie współrzędnych albo gdy na jeden ładunek działa kilka innych ładunków z różnych kierunków.

Jedną z postaci wektorowych prawa Coulomba można zapisać tak:

\vec{F}_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r_{12}^2}\hat{r}_{12}

Wektor \hat{r}_{12} jest wektorem jednostkowym wzdłuż prostej łączącej ładunki. Iloczyn q_1 q_2 zachowuje informację o znakach, dlatego zapis wektorowy opisuje zarówno wartość siły, jak i jej zwrot względem przyjętego kierunku.

Jeżeli w układzie znajduje się więcej niż dwa ładunki, siłę od każdego z nich liczy się osobno. Siła wypadkowa jest sumą wektorową:

\vec{F}_{wyp} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \dots

Przy ładunkach leżących na jednej prostej można przyjąć oś i dodawać siły ze znakami. Przy ładunkach rozmieszczonych w dwóch wymiarach trzeba rozłożyć siły na składowe. Dodawanie samych wartości sił jest poprawne tylko wtedy, gdy siły mają ten sam kierunek i zwrot.

Powiązanie z polem elektrycznym

Z prawa Coulomba wynika pojęcie pola elektrycznego. Siła Coulomba opisuje oddziaływanie między dwoma konkretnymi ładunkami. Pole elektryczne opisuje natomiast, jaka siła działałaby na jednostkowy ładunek próbny umieszczony w danym punkcie.

Definicja natężenia pola elektrycznego ma postać:

E = \frac{F}{q}

Jednostką natężenia pola elektrycznego jest niuton na kulomb:

\frac{N}{C}

Dla ładunku punktowego wartość natężenia pola w odległości r można zapisać jako:

E = k\frac{|Q|}{r^2}

Pole dodatniego ładunku punktowego jest skierowane na zewnątrz od ładunku, a pole ładunku ujemnego jest skierowane do ładunku. Kierunek pola pokazuje, jak poruszałby się dodatni ładunek próbny umieszczony w tym polu.

Prawo Coulomba a grawitacja Newtona

Prawo Coulomba ma podobną budowę matematyczną do prawa powszechnego ciążenia. W obu przypadkach siła zależy odwrotnie od kwadratu odległości.

Dla oddziaływania elektrostatycznego zapisujemy:

F_e = k\frac{|q_1q_2|}{r^2}

Dla oddziaływania grawitacyjnego zapisujemy:

F_g = G\frac{m_1m_2}{r^2}

Podobieństwo wzorów nie oznacza identycznego zachowania fizycznego. Grawitacja jest zawsze przyciągająca i zależy od mas. Siła elektrostatyczna zależy od ładunków elektrycznych oraz ich znaków, dlatego może być przyciągająca albo odpychająca.

W skali cząstek oddziaływanie elektrostatyczne może być wielokrotnie silniejsze od grawitacyjnego. Z tego powodu prawo Coulomba ma podstawowe znaczenie przy opisie atomów, jonów, cząsteczek, dielektryków i zjawisk elektrycznych.

Zadania z prawa Coulomba

Podsumowanie

Prawo Coulomba opisuje siłę elektrostatyczną między ładunkami elektrycznymi. Wartość tej siły zależy od iloczynu ładunków i odwrotnie od kwadratu odległości między nimi. Znaki ładunków decydują o charakterze oddziaływania: ładunki jednoimienne się odpychają, a różnoimienne się przyciągają. Wzór z modułem pozwala obliczyć wartość siły, ale zwrot siły trzeba ustalić osobno. Do poprawnego użycia prawa Coulomba potrzebne są jednostki SI, czyli kulomby, metry i niutony. W ośrodku innym niż próżnia trzeba uwzględnić względną przenikalność elektryczną, a przy wielu ładunkach siły dodaje się wektorowo.

---

Źródła

• OpenStax — Coulomb’s Law
• OpenStax — Electric Field
• The Open University — Coulomb’s law in vector form
• Oxford Physics for Chemists — Coulomb’s law
• MIT OpenCourseWare — Coulomb’s law
• Physics LibreTexts — Coulomb’s Law