Filtr RLC

Filtr RLC to obwód częstotliwościowo selektywny zbudowany z rezystora, cewki i kondensatora. Jego działanie wynika z zależności impedancji elementów reakcyjnych od częstotliwości oraz z rezonansu zachodzącego między energią pola magnetycznego cewki i energią pola elektrycznego kondensatora.

W zależności od topologii oraz punktu poboru sygnału filtr RLC może mieć charakter dolnoprzepustowy, górnoprzepustowy, pasmowoprzepustowy albo pasmowozaporowy. Ten sam zestaw elementów może więc tworzyć różne filtry elektryczne, jeżeli zmieni się sposób połączenia albo miejsce pomiaru sygnału wyjściowego.

Filtry RLC należą do układów drugiego rzędu. O ich zachowaniu decydują przede wszystkim częstotliwość rezonansowa, dobroć układu, szerokość pasma oraz tłumienie wprowadzane przez rezystancję.

Czym jest filtr RLC?

Filtr RLC jest układem elektrycznym zawierającym trzy podstawowe elementy: rezystancję R, indukcyjność L oraz pojemność C. Rezystor odpowiada za straty i tłumienie, cewka magazynuje energię w polu magnetycznym, a kondensator magazynuje energię w polu elektrycznym.

W obwodach zasilanych sygnałem zmiennym elementy te nie zachowują się jednakowo dla każdej częstotliwości. Rezystor ma charakter stratny, natomiast cewka i kondensator mają charakter reakcyjny. Selektywność filtra powstaje właśnie z przeciwnego zachowania elementów L i C względem częstotliwości.

W analizie takich układów stosuje się pojęcia znane z obwodów RLC: impedancję zespoloną, rezonans, dobroć, pasmo przenoszenia oraz przesunięcie fazowe między napięciem i prądem.

Impedancja komponentów i warunek rezonansu

Analityczny opis właściwości częstotliwościowych filtra RLC wymaga zdefiniowania impedancji zespolonych poszczególnych komponentów:

Z_R=R Z_L=j\omega L Z_C=\frac{1}{j\omega C}

Symbol \omega oznacza pulsację sygnału:

\omega=2\pi f

Reaktancja cewki indukcyjnej rośnie wraz z częstotliwością, natomiast reaktancja pojemnościowa maleje. Dlatego kondensator łatwiej przenosi składowe szybkozmienne, a cewka coraz silniej przeciwstawia się szybkim zmianom prądu.

Warunek rezonansu występuje wtedy, gdy reaktancja indukcyjna i pojemnościowa mają taką samą wartość bezwzględną:

\omega L=\frac{1}{\omega C}

Po przekształceniu otrzymuje się pulsację rezonansową:

\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}

Odpowiadająca jej częstotliwość rezonansowa wynosi:

f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

W szeregowym obwodzie RLC impedancja przy rezonansie osiąga minimum, a prąd jest ograniczony głównie przez rezystancję. W równoległym obwodzie RLC impedancja widziana przez źródło może osiągać maksimum. To rozróżnienie jest podstawą wielu układów opisanych przy rezonansie napięć i prądów.

Dobroć układu i szerokość pasma

Dobroć Q określa selektywność obwodu rezonansowego. Wysoka wartość Q oznacza wąskie pasmo pracy i silną reakcję w pobliżu rezonansu. Niska wartość Q oznacza szerszą, bardziej łagodną charakterystykę.

Dla szeregowego obwodu RLC dobroć można zapisać jako:

Q=\frac{\omega_0 L}{R}

Równoważna postać tego wzoru to:

Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}

Z powyższych zależności wynika, że rezystancja tłumi rezonans: wzrost wartości R bezpośrednio obniża dobroć układu i poszerza charakterystykę częstotliwościową.

Szerokość pasma opisuje różnica między górną i dolną częstotliwością graniczną:

BW=f_2-f_1

Zależność dobroci od częstotliwości rezonansowej i szerokości pasma ma postać:

Q=\frac{f_0}{BW}

W układach radiowych i pomiarowych duża dobroć pozwala wydzielić wąski zakres częstotliwości z szerszego widma. W filtrach o małej dobroci charakterystyka jest mniej selektywna, ale stabilniejsza i mniej podatna na ostre przeregulowania.

Typy filtrów RLC i ich charakterystyki

Charakter filtra RLC zależy od topologii układu oraz od punktu, z którego pobiera się sygnał wyjściowy. W szeregowym układzie RLC inne właściwości uzyskuje się przy pomiarze napięcia na rezystorze, inne na cewce, a inne na kondensatorze.

Wybór punktu odbioru sygnału wyjściowego decyduje o tym, który z komponentów — R, L czy C — dyktuje wypadkowy podział napięcia w funkcji częstotliwości.

Analiza transmitancji filtra RLC

Transmitancja opisuje stosunek sygnału wyjściowego do wejściowego w funkcji częstotliwości. Dla szeregowego układu RLC z napięciem wyjściowym pobieranym na rezystorze można zapisać:

H_R(j\omega)=\frac{R}{R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}

W mianowniku występuje składowa rezystancyjna R oraz reaktancja wypadkowa:

\omega L-\frac{1}{\omega C}

Zerowanie się reaktancji wypadkowej przy pulsacji \omega_0 redukuje mianownik transmitancji do wartości czysto rezystancyjnej, co dla wyjścia na rezystorze skutkuje maksymalnym transferem napięcia.

Poniżej rezonansu dominuje charakter pojemnościowy układu. Powyżej rezonansu coraz większe znaczenie ma indukcyjność. Taki opis jest szczególnie użyteczny przy analizie sygnałów zmiennych w obwodach zasilanych prądem przemiennym.

Zastosowania, ograniczenia i zjawiska pasożytnicze

Filtry RLC stosuje się tam, gdzie trzeba wydzielić określony zakres częstotliwości albo ograniczyć niepożądane składowe sygnału. W torach radiowych służą do selekcji kanałów i strojenia obwodów rezonansowych. W torach audio mogą kształtować pasmo przenoszenia lub tłumić wybrane zakresy częstotliwości.

W elektronice zasilającej układy RLC ograniczają zakłócenia przewodzone, wygładzają przebiegi prądowe i współpracują z przekształtnikami energoelektronicznymi. W układach pomiarowych wykorzystuje się je do selekcji sygnałów, ograniczania szumu i analizy odpowiedzi częstotliwościowej.

Filtry RLC bywają również stosowane w układach dopasowania impedancji. Odpowiednio dobrane elementy mogą zmniejszać odbicia sygnału, poprawiać transfer energii i kształtować warunki pracy źródła oraz obciążenia.

Rzeczywisty filtr RLC różni się od modelu idealnego. Cewka ma rezystancję uzwojenia, pojemności pasożytnicze i ograniczoną dobroć. Kondensator ma rezystancję szeregową ESR, indukcyjność pasożytniczą ESL oraz tolerancję pojemności. Rezystor może zmieniać wartość wraz z temperaturą i mocą strat.

Przy wysokich częstotliwościach efekty pasożytnicze mogą przesunąć częstotliwość rezonansową i zmienić nachylenie charakterystyki. W układach dużej mocy trzeba uwzględnić prądy elementów reakcyjnych, nagrzewanie oraz dopuszczalne napięcia pracy.

W filtrze o wysokiej dobroci napięcia na cewce i kondensatorze mogą być znacznie większe od napięcia zasilającego. Wynika to z wymiany energii między elementami reakcyjnymi i ma znaczenie przy doborze napięć znamionowych elementów.

Podsumowanie

Filtr RLC jest obwodem drugiego rzędu zbudowanym z rezystora, cewki i kondensatora. Jego selektywność częstotliwościowa wynika z impedancji elementów reakcyjnych oraz z rezonansu zachodzącego przy częstotliwości f_0.

Najważniejsze parametry filtra RLC to częstotliwość rezonansowa, dobroć Q, szerokość pasma oraz topologia układu. Zależnie od punktu poboru sygnału filtr może mieć charakter dolnoprzepustowy, górnoprzepustowy, pasmowoprzepustowy lub pasmowozaporowy.

W modelu rzeczywistym duże znaczenie mają straty i parametry pasożytnicze. Rezystancja ogranicza dobroć i tłumi rezonans, a nieidealności cewki oraz kondensatora wpływają na przebieg charakterystyki częstotliwościowej.

Źródła

• MIT OpenCourseWare — Resonance and Q Factor
• All About Circuits — Q and Bandwidth of a Resonant Circuit
• Electronics Tutorials — Second Order Filters
• ROHM TechWeb — Series and Parallel RLC Resonant Circuits