Odchylenie standardowe pokazuje, jak bardzo dane rozchodzą się wokół średniej. W technice przydaje się przy analizie pomiarów, szumu czujników, stabilności napięcia, powtarzalności procesu i jakości sygnału.
W przeciwieństwie do wariancji odchylenie standardowe ma tę samą jednostkę co dane wejściowe. Jeżeli mierzysz napięcie w woltach, odchylenie standardowe również będzie podane w woltach.
Odchylenie standardowe – wzór dla populacji
Jeżeli analizujemy cały zbiór danych, odchylenie standardowe populacji zapisuje się tak:
\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}gdzie:
- σ – odchylenie standardowe populacji,
- xi – kolejna wartość w zbiorze danych,
- μ – średnia populacji,
- n – liczba wszystkich wartości.
Ten wzór stosuje się wtedy, gdy mamy cały analizowany zbiór, na przykład komplet wyników z jednej zamkniętej serii pomiarowej.
Odchylenie standardowe z próby – wzór
Jeżeli mamy tylko próbkę danych i chcemy na jej podstawie oszacować zmienność większego procesu, stosuje się odchylenie standardowe z próby:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}gdzie:
- s – odchylenie standardowe z próby,
- xi – kolejny wynik pomiaru albo obserwacji,
- x̄ – średnia z próby,
- n – liczba wyników w próbie.
Różnica między dzieleniem przez n i przez n-1 jest ważna. Wariant z n-1 stosuje się wtedy, gdy próbka ma reprezentować większy zbiór danych albo dłuższy proces pomiarowy.
Odchylenie standardowe a wariancja
Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji:
\sigma=\sqrt{\sigma^2} s=\sqrt{s^2}Wariancja ma jednostkę podniesioną do kwadratu, a odchylenie standardowe wraca do jednostki danych wejściowych. Dlatego w praktyce pomiarowej odchylenie standardowe jest zwykle łatwiejsze do interpretacji niż sama wariancja.
Przykład: jeżeli seria pomiarów napięcia ma odchylenie standardowe 0{,}02\ \mathrm{V}, to rozrzut wyników można od razu czytać w woltach. Gdyby podać wariancję, jednostką byłoby \mathrm{V^2}, co jest mniej intuicyjne.
Jak interpretować odchylenie standardowe?
Małe odchylenie standardowe oznacza, że wyniki są skupione blisko średniej. Duże odchylenie standardowe oznacza większy rozrzut danych.
Nie oznacza to jednak automatycznie, że pomiar jest poprawny. Czujnik może dawać bardzo powtarzalne wyniki, ale stale zawyżać albo zaniżać wartość. Odchylenie standardowe opisuje rozrzut, a nie zgodność z wartością rzeczywistą.
Na wynik mocno wpływają wartości odstające, ponieważ obliczenia opierają się na kwadratach odchyleń od średniej. Jeden błędny odczyt z czujnika może wyraźnie zwiększyć odchylenie standardowe całej serii.
Odchylenie standardowe w pomiarach technicznych
W elektronice i automatyce odchylenie standardowe pomaga ocenić stabilność danych pomiarowych. Można je stosować przy pomiarach napięcia, prądu, temperatury, rezystancji, częstotliwości, sygnałów z ADC i danych z czujników.
Przy wzorcowaniu przyrządów pomiarowych sama średnia nie wystarcza. Trzeba wiedzieć, czy wyniki są powtarzalne i jak bardzo rozchodzą się wokół średniej.
W systemach takich jak SCADA odchylenie standardowe może pomagać w wykrywaniu niestabilnych kanałów pomiarowych, zakłóceń, dryftu czujników albo nietypowego zachowania procesu.
Podobny sens ma analiza serii próbek z oscyloskopu, przetwornika ADC albo prostego układu z mikrokontrolerem. Jeżeli odchylenie standardowe rośnie, może to oznaczać większy szum, niestabilność zasilania albo zmianę warunków pomiaru.
Najczęstsze błędy przy odchyleniu standardowym
Pierwszy błąd to mylenie odchylenia standardowego z wariancją. Wariancja jest podawana w jednostce podniesionej do kwadratu, a odchylenie standardowe w tej samej jednostce co dane wejściowe.
Drugi błąd to stosowanie wzoru dla populacji tam, gdzie dane są tylko próbką większego procesu. W pomiarach technicznych często kilka lub kilkanaście odczytów reprezentuje dłuższą pracę układu, więc sensowniejszy bywa wzór z mianownikiem n-1.
Trzeci błąd to uznanie małego odchylenia standardowego za dowód poprawności pomiaru. Małe odchylenie oznacza mały rozrzut, ale nie mówi jeszcze, czy przyrząd jest dobrze skalibrowany.
Zadania z odchylenia standardowego
Zadanie 1. Odchylenie standardowe populacji
Dane są trzy wartości: 2, 4 i 6. Oblicz odchylenie standardowe populacji.
Dane
- x_1=2
- x_2=4
- x_3=6
- n=3
Rozwiązanie
Najpierw liczymy średnią:
\mu=\frac{2+4+6}{3}=4Stosujemy wzór na odchylenie standardowe populacji:
\sigma=\sqrt{\frac{(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2}{3}} \sigma=\sqrt{\frac{4+0+4}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}} \sigma\approx1{,}63Odpowiedź
Odchylenie standardowe populacji wynosi około 1{,}63.
Zadanie 2. Odchylenie standardowe pomiarów napięcia
Wykonano trzy pomiary napięcia: 4{,}98\ \mathrm{V}, 5{,}00\ \mathrm{V} i 5{,}02\ \mathrm{V}. Oblicz odchylenie standardowe z próby.
Dane
- x_1=4{,}98\ \mathrm{V}
- x_2=5{,}00\ \mathrm{V}
- x_3=5{,}02\ \mathrm{V}
- n=3
Rozwiązanie
Średnia z próby wynosi:
\bar{x}=\frac{4{,}98+5{,}00+5{,}02}{3}=5{,}00\ \mathrm{V}Stosujemy wzór na odchylenie standardowe z próby:
s=\sqrt{\frac{(4{,}98-5{,}00)^2+(5{,}00-5{,}00)^2+(5{,}02-5{,}00)^2}{3-1}} s=\sqrt{\frac{0{,}0004+0+0{,}0004}{2}} s=\sqrt{0{,}0004}=0{,}02\ \mathrm{V}Odpowiedź
Odchylenie standardowe z próby wynosi 0{,}02\ \mathrm{V}.
Zadanie 3. Porównanie stabilności dwóch serii
Dwie serie pomiarów mają tę samą średnią 5{,}0\ \mathrm{V}. Seria A: 4{,}9\ \mathrm{V}, 5{,}0\ \mathrm{V}, 5{,}1\ \mathrm{V}. Seria B: 4{,}7\ \mathrm{V}, 5{,}0\ \mathrm{V}, 5{,}3\ \mathrm{V}. Porównaj odchylenia standardowe z próby.
Dane
- Seria A: 4{,}9,\ 5{,}0,\ 5{,}1
- Seria B: 4{,}7,\ 5{,}0,\ 5{,}3
- Średnia obu serii: \bar{x}=5{,}0
Rozwiązanie
Dla serii A:
s_A=\sqrt{\frac{(4{,}9-5{,}0)^2+(5{,}0-5{,}0)^2+(5{,}1-5{,}0)^2}{3-1}} s_A=\sqrt{\frac{0{,}01+0+0{,}01}{2}}=\sqrt{0{,}01}=0{,}1\ \mathrm{V}Dla serii B:
s_B=\sqrt{\frac{(4{,}7-5{,}0)^2+(5{,}0-5{,}0)^2+(5{,}3-5{,}0)^2}{3-1}} s_B=\sqrt{\frac{0{,}09+0+0{,}09}{2}}=\sqrt{0{,}09}=0{,}3\ \mathrm{V}Odpowiedź
Seria A jest stabilniejsza, ponieważ ma mniejsze odchylenie standardowe: 0{,}1\ \mathrm{V} zamiast 0{,}3\ \mathrm{V}.