Średnia ważona wzór

Średnia ważona pozwala obliczyć średnią, w której jedne wartości mają większy wpływ na wynik niż inne. W technice przydaje się wtedy, gdy pomiary, czujniki albo parametry nie są tak samo wiarygodne lub nie mają takiego samego znaczenia.

Zwykła średnia traktuje każdą wartość jednakowo. Średnia ważona pozwala nadać większą wagę tym danym, które są dokładniejsze, ważniejsze albo pochodzą z bardziej zaufanego źródła.

Średnia ważona – wzór

Podstawowy wzór na średnią ważoną ma postać:

\overline{x}_w=\frac{x_1w_1+x_2w_2+\dots+x_nw_n}{w_1+w_2+\dots+w_n}

Ten sam wzór można zapisać krócej z użyciem sumy:

\overline{x}_w=\frac{\sum_{i=1}^{n}w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n}w_i}

Oznaczenia we wzorze

  • xi – kolejna wartość, na przykład wynik pomiaru,
  • wi – waga przypisana do danej wartości,
  • n – liczba wartości,
  • x̄w – średnia ważona.

Im większa waga, tym większy wpływ danej wartości na wynik końcowy. Waga równa zero oznacza, że dana wartość nie wpływa na średnią.

Jak rozumieć wagi?

Wagi nie muszą sumować się do 1, ponieważ we wzorze wynik dzieli się przez sumę wag. Można więc używać wag typu 1, 2, 5 albo 10, jeżeli tylko wiadomo, co oznaczają.

Jeżeli wagi są już znormalizowane, czyli ich suma wynosi 1, wzór upraszcza się:

\sum_{i=1}^{n}w_i=1 \overline{x}_w=\sum_{i=1}^{n}w_i x_i

W pomiarach technicznych waga może oznaczać dokładność czujnika, liczbę próbek, poziom zaufania do danego kanału pomiarowego albo znaczenie danego parametru w ocenie urządzenia.

Średnia ważona w pomiarach i elektronice

Średnia ważona dobrze pasuje do układów pomiarowych. Jeżeli kilka czujników mierzy tę samą wielkość, ale jeden z nich jest dokładniejszy albo mniej zaszumiony, można nadać mu większą wagę.

Takie podejście pojawia się przy analizie danych z czujników, prostym filtrowaniu wyników, ocenie jakości pomiarów oraz w systemach monitoringu. Dotyczy to zarówno prostych układów z mikrokontrolerem, jak i większych systemów, takich jak SCADA.

Przykład: dwa czujniki temperatury mierzą ten sam punkt. Pierwszy czujnik jest dokładniejszy i stabilniejszy, więc jego wynik dostaje wagę 3. Drugi czujnik jest mniej dokładny, więc dostaje wagę 1. Wynik końcowy będzie bliższy pomiarowi z lepszego czujnika, ale nie zignoruje całkowicie drugiego pomiaru.

Podobny sposób myślenia można stosować przy danych z czujników Arduino, pomiarach napięcia, wynikach z kilku kanałów wejściowych, analizie sygnału z szumem oraz ocenie parametrów urządzeń.

Wagi a dokładność pomiaru

W bardziej zaawansowanych pomiarach wagi mogą być powiązane z niepewnością albo wariancją błędu pomiarowego. Pomiar o mniejszej niepewności powinien mieć większy wpływ na wynik końcowy.

Często stosuje się zasadę, że waga jest odwrotnie proporcjonalna do wariancji:

w_i=\frac{1}{\sigma_i^2}

Nie trzeba tego stosować w prostych zadaniach, ale warto znać sens: dokładniejszy pomiar ma większą wagę, a pomiar bardziej zaszumiony ma mniejszą wagę.

W praktyce dokładność wyniku zależy nie tylko od samego wzoru, ale też od jakości danych wejściowych, poprawnego wzorcowania przyrządów pomiarowych i właściwego doboru wag.

Kiedy średnia ważona może wprowadzać w błąd?

Średnia ważona nie naprawia błędnych danych. Jeżeli jeden czujnik pokazuje całkowicie fałszywy wynik, samo nadanie mu mniejszej wagi może nie wystarczyć. Taki pomiar trzeba najpierw wykryć i odrzucić albo osobno oznaczyć jako niewiarygodny.

Trzeba też uważać na wagi dobrane przypadkowo. Jeżeli waga nie ma jasnego znaczenia, wynik może wyglądać dokładnie, ale w rzeczywistości będzie arbitralny. W zastosowaniach technicznych waga powinna wynikać z dokładności, liczby próbek, warunków pomiaru albo realnego znaczenia danego parametru.

Zadania ze średniej ważonej

Zadanie 1. Obliczenie średniej ważonej

Trzy pomiary mają wartości 20, 22 oraz 25. Ich wagi wynoszą odpowiednio 1, 2 oraz 1. Oblicz średnią ważoną.

Dane

  • x_1=20,\quad w_1=1
  • x_2=22,\quad w_2=2
  • x_3=25,\quad w_3=1

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na średnią ważoną:

\overline{x}_w=\frac{x_1w_1+x_2w_2+x_3w_3}{w_1+w_2+w_3}

Podstawiamy dane:

\overline{x}_w=\frac{20\cdot1+22\cdot2+25\cdot1}{1+2+1}
\overline{x}_w=\frac{20+44+25}{4}=\frac{89}{4}=22{,}25

Odpowiedź

Średnia ważona wynosi 22{,}25.

Zadanie 2. Wynik z dwóch czujników

Dwa czujniki mierzą temperaturę tego samego elementu. Pierwszy wskazuje 23{,}0°C i ma wagę 3. Drugi wskazuje 24{,}2°C i ma wagę 1. Oblicz średnią ważoną temperaturę.

Dane

  • x_1=23{,}0,\quad w_1=3
  • x_2=24{,}2,\quad w_2=1

Rozwiązanie

Liczymy średnią ważoną:

\overline{x}_w=\frac{x_1w_1+x_2w_2}{w_1+w_2}

Podstawiamy dane:

\overline{x}_w=\frac{23{,}0\cdot3+24{,}2\cdot1}{3+1}
\overline{x}_w=\frac{69{,}0+24{,}2}{4}=\frac{93{,}2}{4}=23{,}3

Odpowiedź

Średnia ważona temperatura wynosi 23{,}3°C. Wynik jest bliższy wskazaniu pierwszego czujnika, ponieważ ma on większą wagę.

Zadanie 3. Średnia ważona napięcia z wagami znormalizowanymi

Trzy kanały pomiarowe wskazały napięcia 4{,}98\ \mathrm{V}, 5{,}04\ \mathrm{V} oraz 5{,}10\ \mathrm{V}. Ich znormalizowane wagi wynoszą 0{,}5, 0{,}3 i 0{,}2. Oblicz średnią ważoną napięcia.

Dane

  • x_1=4{,}98\ \mathrm{V},\quad w_1=0{,}5
  • x_2=5{,}04\ \mathrm{V},\quad w_2=0{,}3
  • x_3=5{,}10\ \mathrm{V},\quad w_3=0{,}2

Rozwiązanie

Wagi są znormalizowane, więc ich suma wynosi:

0{,}5+0{,}3+0{,}2=1

Można więc użyć uproszczonego zapisu:

\overline{x}_w=w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3

Podstawiamy dane:

\overline{x}_w=0{,}5\cdot4{,}98+0{,}3\cdot5{,}04+0{,}2\cdot5{,}10
\overline{x}_w=2{,}49+1{,}512+1{,}02=5{,}022\ \mathrm{V}

Odpowiedź

Średnia ważona napięcia wynosi 5{,}022\ \mathrm{V}, czyli około 5{,}02\ \mathrm{V}.

Źródła