Wariancja opisuje, jak mocno dane rozchodzą się wokół średniej. W technice przydaje się przy analizie serii pomiarów, stabilności napięcia, szumu czujników, powtarzalności procesu i jakości sygnału.
Mała wariancja oznacza, że wyniki są skupione blisko średniej. Duża wariancja oznacza większy rozrzut. Trzeba jednak pamiętać, że stabilne wyniki nie zawsze są poprawne — czujnik może mierzyć równo, ale być źle skalibrowany.
Wariancja – wzór dla populacji
Jeżeli analizujemy cały zbiór danych, wariancję populacji zapisuje się tak:
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2gdzie:
- σ² – wariancja populacji,
- xi – kolejna wartość w zbiorze danych,
- μ – średnia populacji,
- n – liczba wszystkich wartości.
Ten wzór stosuje się wtedy, gdy mamy cały analizowany zbiór, na przykład komplet wyników z danej serii pomiarowej.
Wariancja z próby – wzór
Jeżeli mamy tylko próbkę danych i chcemy na jej podstawie oszacować zmienność większej populacji, stosuje się wariancję z próby:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2gdzie:
- s² – wariancja z próby,
- xi – kolejny wynik pomiaru albo obserwacji,
- x̄ – średnia z próby,
- n – liczba wyników w próbie.
Różnica między dzieleniem przez n i przez n-1 jest ważna. Dla całej populacji używa się n. Dla próby, która ma oszacować zmienność większego zbioru, używa się n-1.
Jak rozumieć wariancję?
Wariancja liczy średni kwadrat odchylenia od średniej. Najpierw sprawdza się, jak daleko każda wartość leży od średniej, potem tę różnicę podnosi się do kwadratu, a na końcu wyniki się uśrednia.
Podnoszenie do kwadratu ma dwa skutki. Po pierwsze, odchylenia dodatnie i ujemne nie znoszą się wzajemnie. Po drugie, duże odchylenia mają bardzo mocny wpływ na wynik.
To dlatego pojedynczy błędny odczyt z czujnika może mocno podbić wariancję całej serii pomiarowej.
Wariancja a odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji:
\sigma=\sqrt{\sigma^2} s=\sqrt{s^2}W praktyce odchylenie standardowe bywa łatwiejsze do interpretacji, bo ma tę samą jednostkę co dane wejściowe. Jeżeli mierzysz napięcie w woltach, odchylenie standardowe jest w woltach, a wariancja w woltach kwadratowych.
Jednostka wariancji
Jednostka wariancji jest kwadratem jednostki analizowanej wielkości. Jeżeli dane są w woltach, wariancja ma jednostkę:
\mathrm{V^2}Jeżeli dane są w stopniach Celsjusza, wariancja ma jednostkę:
\mathrm{^\circ C^2}To jest główny powód, dla którego w opisach pomiarów częściej podaje się odchylenie standardowe. Wariancja nadal jest ważna obliczeniowo, ale jej jednostka jest mniej intuicyjna.
Wariancja w pomiarach technicznych
W elektronice i automatyce wariancja pomaga ocenić rozrzut danych z pomiarów. Można jej użyć do sprawdzenia, czy napięcie zasilacza jest stabilne, czy czujnik mocno szumi, czy pomiar rezystancji jest powtarzalny albo czy sygnał z przetwornika ADC nie rozjeżdża się wokół średniej.
Przy wzorcowaniu przyrządów pomiarowych sama średnia nie wystarcza. Trzeba jeszcze wiedzieć, jak bardzo wyniki są rozproszone. Dwie serie mogą mieć podobną średnią, ale zupełnie inną stabilność.
W systemach takich jak SCADA albo układach z wieloma czujnikami wariancja może pomóc wykrywać niestabilne kanały pomiarowe, zakłócenia, dryft albo nietypowe zachowanie procesu.
Podobny kontekst pojawia się przy analizie sygnałów, pracy z oscyloskopem, pomiarach napięcia, prądu, temperatury i danych z czujników w prostych układach mikroprocesorowych.
Najczęstsze błędy przy wariancji
Pierwszy błąd to mylenie wariancji z odchyleniem standardowym. Wariancja jest liczona w jednostce podniesionej do kwadratu, a odchylenie standardowe wraca do jednostki danych wejściowych.
Drugi błąd to używanie wzoru dla populacji tam, gdzie analizowana jest tylko próba. Jeżeli kilka pomiarów ma reprezentować większą serię albo proces, częściej stosuje się wariancję z próby.
Trzeci błąd to ślepa interpretacja małej wariancji jako dobrego pomiaru. Mała wariancja oznacza mały rozrzut. Nie oznacza automatycznie, że wynik jest zgodny z wartością rzeczywistą.
Zadania z wariancji
Zadanie 1. Wariancja prostego zbioru danych
Dane są trzy wartości: 2, 4 i 6. Oblicz wariancję populacji.
Dane
- x_1=2
- x_2=4
- x_3=6
- n=3
Rozwiązanie
Najpierw liczymy średnią:
\mu=\frac{2+4+6}{3}=4Stosujemy wzór na wariancję populacji:
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2Podstawiamy dane:
\sigma^2=\frac{(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2}{3} \sigma^2=\frac{4+0+4}{3}=\frac{8}{3} \sigma^2\approx2{,}67Odpowiedź
Wariancja populacji wynosi około 2{,}67.
Zadanie 2. Wariancja z próby dla pomiarów napięcia
Wykonano trzy pomiary napięcia: 4{,}98\ \mathrm{V}, 5{,}00\ \mathrm{V} i 5{,}02\ \mathrm{V}. Oblicz wariancję z próby.
Dane
- x_1=4{,}98\ \mathrm{V}
- x_2=5{,}00\ \mathrm{V}
- x_3=5{,}02\ \mathrm{V}
- n=3
Rozwiązanie
Średnia z próby wynosi:
\bar{x}=\frac{4{,}98+5{,}00+5{,}02}{3}=5{,}00\ \mathrm{V}Stosujemy wzór na wariancję z próby:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2Podstawiamy dane:
s^2=\frac{(4{,}98-5{,}00)^2+(5{,}00-5{,}00)^2+(5{,}02-5{,}00)^2}{3-1} s^2=\frac{0{,}0004+0+0{,}0004}{2}=0{,}0004\ \mathrm{V^2}Odpowiedź
Wariancja z próby wynosi 0{,}0004\ \mathrm{V^2}. Odpowiada to odchyleniu standardowemu 0{,}02\ \mathrm{V}.
Zadanie 3. Porównanie stabilności dwóch serii pomiarów
Dwie serie pomiarów napięcia mają tę samą średnią 5{,}0\ \mathrm{V}. Seria A: 4{,}9\ \mathrm{V}, 5{,}0\ \mathrm{V}, 5{,}1\ \mathrm{V}. Seria B: 4{,}7\ \mathrm{V}, 5{,}0\ \mathrm{V}, 5{,}3\ \mathrm{V}. Porównaj wariancje populacji.
Dane
- Seria A: 4{,}9,\ 5{,}0,\ 5{,}1
- Seria B: 4{,}7,\ 5{,}0,\ 5{,}3
- Średnia obu serii: \mu=5{,}0
Rozwiązanie
Wariancja serii A:
\sigma_A^2=\frac{(4{,}9-5{,}0)^2+(5{,}0-5{,}0)^2+(5{,}1-5{,}0)^2}{3} \sigma_A^2=\frac{0{,}01+0+0{,}01}{3}\approx0{,}0067\ \mathrm{V^2}Wariancja serii B:
\sigma_B^2=\frac{(4{,}7-5{,}0)^2+(5{,}0-5{,}0)^2+(5{,}3-5{,}0)^2}{3} \sigma_B^2=\frac{0{,}09+0+0{,}09}{3}=0{,}06\ \mathrm{V^2}Odpowiedź
Seria A ma mniejszą wariancję, więc jest stabilniejsza. Obie serie mają tę samą średnią, ale seria B ma dużo większy rozrzut wyników.