Wzór na x1 x2

Wzór na x1 i x2 służy do obliczania pierwiastków równania kwadratowego. Najpierw wyznacza się deltę, a następnie podstawia ją do wzorów na dwa możliwe rozwiązania.

Równanie kwadratowe zapisuje się w postaci:

ax^2+bx+c=0,\quad a\neq0

gdzie a, b i c są współczynnikami równania. Warunek a\neq0 jest konieczny, bo przy a=0 równanie nie jest już kwadratowe.

Delta we wzorze na x1 i x2

Przed obliczeniem pierwiastków równania kwadratowego liczy się deltę:

\Delta=b^2-4ac

Wartość delty decyduje o liczbie rozwiązań rzeczywistych:

  • jeżeli \Delta>0, równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste,
  • jeżeli \Delta=0, równanie ma jeden pierwiastek podwójny,
  • jeżeli \Delta<0, równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Wzór na x1 i x2

Jeżeli \Delta>0, pierwiastki równania kwadratowego oblicza się ze wzorów:

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Ten sam wzór można zapisać krócej:

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

Znak minus przed pierwiastkiem z delty daje x_1, a znak plus daje x_2.

Gdy delta jest równa zero

Jeżeli \Delta=0, oba wzory dają tę samą wartość. Wtedy:

x_1=x_2=\frac{-b}{2a}

Taki pierwiastek nazywa się pierwiastkiem podwójnym.

Przykład obliczenia x1 i x2

Rozwiążmy równanie:

x^2-5x+6=0

Współczynniki są następujące:

a=1,\quad b=-5,\quad c=6

Liczymy deltę:

\Delta=b^2-4ac \Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot6 \Delta=25-24=1

Delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste:

x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=2 x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=3

Rozwiązaniami równania są:

x_1=2,\quad x_2=3

Postać iloczynowa i sprawdzenie wyniku

Jeżeli znamy pierwiastki x_1 i x_2, trójmian kwadratowy można zapisać w postaci iloczynowej:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Dla równania x^2-5x+6=0 otrzymujemy:

x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

Wynik można też sprawdzić przez wzory Viete’a:

x_1+x_2=-\frac{b}{a} x_1x_2=\frac{c}{a}

W przykładzie:

2+3=5 2\cdot3=6

Ten temat łączy się również z wzorem na deltę, wzorami skróconego mnożenia i działaniami na potęgach.

Zadania z obliczania x1 i x2

Zadanie 1. Dwa pierwiastki rzeczywiste

Oblicz pierwiastki równania x^2-7x+10=0.

Dane

  • a=1
  • b=-7
  • c=10

Rozwiązanie

Liczymy deltę:

\Delta=b^2-4ac
\Delta=(-7)^2-4\cdot1\cdot10
\Delta=49-40=9

Obliczamy pierwiastki:

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{7-3}{2}=2
x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{7+3}{2}=5

Odpowiedź

x_1=2,\quad x_2=5.

Zadanie 2. Jeden pierwiastek podwójny

Oblicz pierwiastek równania x^2-6x+9=0.

Dane

  • a=1
  • b=-6
  • c=9

Rozwiązanie

Liczymy deltę:

\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot9
\Delta=36-36=0

Przy \Delta=0 korzystamy ze wzoru:

x_1=x_2=\frac{-b}{2a}
x_1=x_2=\frac{-(-6)}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3

Odpowiedź

Równanie ma pierwiastek podwójny: x_1=x_2=3.

Zadanie 3. Brak pierwiastków rzeczywistych

Sprawdź, ile pierwiastków rzeczywistych ma równanie x^2+4x+8=0.

Dane

  • a=1
  • b=4
  • c=8

Rozwiązanie

Liczymy deltę:

\Delta=b^2-4ac
\Delta=4^2-4\cdot1\cdot8
\Delta=16-32=-16

Delta jest mniejsza od zera:

\Delta<0

Odpowiedź

Równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Źródła